Gândirea matematică, la frontierele cunoaşterii

Despre matematică precum o formă de asceză a gândirii se poate vorbi amintind de ceea ce unii filosofi au numit reflexivitatea gândirii. În această calitate, matematica diferă de ştiinţele experimentale. Ca atare, a fost apropiată de poezie şi suscită meditaţia filosofică. Aprofundând esenţa matematicii, ajungem la ideea de cunoaştere a cunoaşterii, la ceea ce Ion Barbu, de pildă, abstractizând şi generalizând foarte mult, a numit existenţele substanţial indefinite: punctul, dreapta, planul etc.

Limbajul matematic şi structurile lumii fizice

S-a vorbit despre apariţia problemelor în matematică. La originea lor e bucuria jocului şi meditaţia asupra limitelor. Fiind cea mai puţin dependentă de influenţele exterioare, gândirea matematică, s-a spus, dă seama de însuşirile generale ale gândirii şi, în această calitate preocupă psihologia, ca şi filosofia. Matematica pune filosofiei întrebări precum: statutul entităţilor matematice, natura intuiţiei matematice, problema interacţiunii dintre continuu şi discontinuu, infinit şi finit, global şi local. Matematica, trebuie spus, este partea exactă a gândirii umane. Galilei a pus bazele spiritului ştiinţific modern, care abordează matematica nu doar ca pe un instrument de cercetare, ci ca pe un factor ontologic. Meditaţia asupra logosului matematic, a raţiunii calculatorii, asupra cantităţii şi relaţiilor captează deopotrivă interesul psihologiei, filosofiei şi teologiei. În psihologie, Jean Piaget a analizat raportul dintre structurile matematice şi structurile operatorii ale inteligenţei, dar şi raportul dintre legile construcţiei matematice şi cele ale organizării vii, înţelese ca o sinergie a funcţiilor ce corespund structurilor de grup, de ordine şi topologice. În teologie, logosul matematic e văzut uneori ca o proiecţie a logosului divin în creaţie, la nivelul cel mai general, al cantităţii şi relaţiei cantitative. Cât priveşte domeniul calităţii şi al atributelor şi cel al relaţiilor calitative, ele nu mai ţin de studiul matematic, ci de un alt tip de cunoaştere, afectivă, poetică, mistică.
Existenţa matematicilor, s-a spus, surprinde prin caracterul ei totodată riguros şi fecund. Fecund în sens de frecventă confirmare experimentală a rezultatelor. În matematică, orientarea intuiţionistă a câştigat teren în detrimentul celei logic-formaliste; în cel mai bun caz, avem de-a face cu combinarea celor două metode. Intuiţioniştii pun accent pe caracterul fecund, cu caracter ontologic, al construcţiilor matematice.
Mircea Maliţa a văzut posibilă depăşirea disputei între intuiţionişti şi formalişti, dintre empirişti şi raţionalişti, cum se mai spune, o dată cu a treia cale, numită cea a experimentului mintal, ce defineşte matematica cu funcţie de noutate şi invenţie la nivel de raţiune umană.
Arhitectura matematicii contemporane a fost fundamentată pe o triadă elaborată de grupul Bourbaki: structură de grup, de ordine şi topologică. Această perspectivă structuralistă nu defineşte elementele separat, ci prin relaţii operatorii. La rândul lor, s-a remarcat, relaţiile operatorii prezintă o putere de transformare şi de deschidere care constă adesea în construirea obiectelor de experienţă. Noţiunea matematică cu ajutorul căreia se descriu simetriile este conceptul de grup. Teoria grupurilor e folosită pentru a descrie simetriile spaţiului-timp şi cele interne ale materiei. Simetriile în microfizică sunt fenomene uimitoare prin recurenţa lor. De pildă, fiecărei particule îi corespunde o antiparticulă. Simetria, prezentă constant în natură, e o idee prin care omul a înţeles şi a creat el însuşi ordinea, frumuseţea şi perefecţiunea, în primul rând prin echilibru. Dacă pentru Roger Penrose entităţile matematice au un statut asemănător ideilor platonice, pentru un gânditor creştin ca Alexei Nesteruk lucrarea ştiinţifică, în general, capătă o condiţie liturgică, în care logosul omului întâlneşte logosul lumii, în lumina Logosului divin.
Pentru creştin, imaginea naturii reprezintă şi o oglindă a spiritului, a imaginii lui Dumnezeu. Nu-i mai puţin adevărat că devenirea, ruperea de simetrie, mai ales în ordine spirituală, e un factor de fluctuaţii uriaşe, generând dezordine pe parcurs, fiind nevoie, pentru recuperarea stării de echilibru, de adevărate salturi în ordinea devenirii. Pentru a-şi regăsi echilibrul interior, sufletul are de făcut un drum lung până la asemănarea cu Dumnezeu. S-a spus, de altfel, că natura umană e modelul în mic al întregii naturi şi staţia ei pilot.

De la mitul golemic şi cel babilonic la conştiinţa limitelor

Cu privire la limitele ştiinţei s-a referit foarte precis Constantin Noica, vorbind despre rezultatele negative din secolul XX: matematica nu poate fi redusă la logică, după cum a arătat Gödel (Ηilbert urmărea o axiomatizare completă a matematicii); fiinţa nu poate fi rostită (Heidegger), deci filosofia trebuie să tacă asupra ei; istoria nu poate fi controlată (eşecul comunismului, observat de Wittgenstein). O dată cu conştiinţa limitelor ştiinţei, la care a contribuit şi Gödel (teorema de incompletitudine a lui Gödel spune că în orice sistem suficient de complex ca să incorporeze numerele întregi există propoziţii corect formulate al căror adevăr nu se poate decide. Mai mult, e imposibil de arătat consistenţa unui asemenea sistem în cadrul formalismului propriu), e ca şi când mitul golemic şi cel babilonic au cunoscut eşecul. Ideea de omnipotenţă a inteligenţei artificiale (simbolizată de golem) şi cea a raţionalizării fără rest (de jos până sus) a problemelor existenţei au intrat în impas.
Fizicianul englez George Thompson, referindu-se la consecinţele indeterminării în fizică, a afirmat despre această limitare fundamentală a cunoştinţelor noastre că este o noutate. Noutatea nu constă în faptul că experienţele sunt imprecise – de când lumea au fost aşa –, ci în faptul că pentru prima oară se vorbeşte de ceea ce nu poate fi cunoscut, că există o limită a cunoaşterii experimentale în sine.

Florin Caragiu


(text apărut în ziarul "Lumina de Duminică", secţiunea "Lumina cunoştinţei", "Religia, Filosofia şi Ştiinţele în dialog", duminică 1 aprilie 2012.)

Experienţa de adevăr şi conştiinţa limitelor

Există argumente pentru a demonstra două opinii opuse. Unele pledează că gândirea matematică actuală se orientează într-o direcţie artificială, divergentă gândirii naturale. Altele, dimpotrivă.  În acest caz, se au în vedere, mai ales, structurile genetice ale inteligenţei.


Fenomenologia şi evidenţele conştiinţei

Husserl a opus logica psihologismului. Psihologiştii, adepţi ai metodei experimentale, dibuiesc şi îşi schimbă în timp opiniile, devenite relative, tocmai pentru că ei nu ţin cont de evidenţa intuitivă nemijlocită, apodictică, cea care ne conduce spre esenţe. Referitor la intuiţie, după Husserl, trăirea psihologică e relativă şi contingentă, pe când cea transcendentală e necesară şi absolută. Numărul trei, de pildă, e considerat un obiect ideal. Domeniul de cercetare al logicii pure este analog, după Husserl, cu cel al matematicii pure, rezultat al ideaţiei transcendentale. Pe Husserl l-a preocupat limpezirea ideii de adevăr în relaţie cu ideea evidenţei în judecată. Geometria, de pildă, e considerată eidetica lucrului. Fenomenologia se pretinde a fi o teorie descriptivă a esenţelor înseşi ale conştiinţei, prin certitudine şi evidenţă operând ca o credinţă. Rolul subiectului în cunoaştere e crucial. Teoria constituirii (opusă teoriei reflectării) e aici la locul ei. Din acest punct de vedere, fenomenologia interesează teologia, dar şi ştiinţa. Teologia are în centrul ei evidenţele conştiinţei. Fenomenologia atestă, apoi, ceea ce mulţi fizicieni cuanticieni au constatat, anume că actul perceperii de către o entitate face materia să prindă viaţă concretă, adică face ca unda să sucombe în particule. Această opinie e cunoscută sub numele de interpretarea Copenhaga. Fenomenologia plasează logica în centrul conştiinţei. În felul în care e concepută, logica devine conaturală conştiinţei, în ideea că ea, logica, trebuie să aibă un sens, un logos, o relevanţă pentru conştiinţă, altfel spus constituie o necesitate a conştiinţei. De pilsă, Husserl respinge contradicţia logică şi afirmă principiul identităţii ca act vertebral al conştiinţei. (Să amintim că paradoxul creştin nu naşte contradicţii logice, în această perspectivă, deşi se depăşeşte ontologia creatului.) Lumea e văzută ca un fir de comunicare, iar omul e receptorul de la capătul firului. Aici au loc evidenţele şi coagularea efectelor majore ale existenţei, la impactul cu conştiinţa. Husserl porneşte de la sens spre realitate, de la efectul în conştiinţă spre descrierea lumii, aşa cum teologia pleacă de la Dumnezeu şi conştiinţa umană, urmând ca prin ele să vadă lumea.
Cât priveşte logica lui Frege, ea este de tip logicist, dezvoltând o concepţie a lui Leibniz şi constituindu-se ca o interpretare idealistă a logicii şi a fundamentelor matematicii. În acest sens, matematica e dedusă din logică şi poate fi asimilată unor concepte şi operaţii pur logice. Studiind condiţiile corectitudinii gândirii, logica simbolică a lui Frege apare la hotarul dintre logică şi matematică. Ea păstrează calea spre o conciliere a formalului cu gândirea naturală.


Limitele ştiinţei şi ştiinţa limitelor

Matematica s-a constituit ca o ştiinţă a limitelor, fie şi numai prin faptul că-şi pune probleme, unele din ele rămânând neerezolvate. Lecţia lui Gödel ne învaţă că valoarea de adevăr se elaborează la nivelul instanţei critice a conştiinţei. Critica face parte din etic cunoaşterii obiective, reflexivitatea fiind imperioasă la orice nivel. Gödel arată că „pentru a demonstra necontradicţia unui sistem formal, e necesar să faci apel la procedee de verificare care sunt străine sistemului şi, deci, într-un sens, mai puternice decât acelea de care sistemul se serveşte”. Cu alte cuvinte, instanţa de verificare nu poate exista înăuntrul sistemului.
Astfel, conceptul de adevăr matematic e foarte problematic, el ţinând mai degrabă de filosofie, ca instanţă critică şi valorizantă şi, mai mult, de un punct de joncţiune interdisciplinar, inclusiv de perspectiva teologică. În acest sens, apreciem poziţia raţionalismului critic promovat de Karl Popper, care introduce criteriul „falsificabilităţii” în locul celui de „verificabilitate”. Astfel, lărgeşte considerabil câmpul analizei critice. Dacă pozitivismul nu recunoştea valoarea de adevăr a propoziţiilor axiologice, pe motiv că nu sunt verificabile, Popper admite propoziţiile axiologice, luând în considerare nu numai discursul ştiinţific şi componenta sa verificabilă, ci şi alte tipuri de discurs, în particular pe cel de tip axiologic, care, deşi nu poate fi verificat propriu-zis, nu poate fi nici falsificat. Aici se deschide o poartă spre a recunoaşte statutul de adevăr faptului spiritual. Popper a fost primul care a depăşit, prin raţionalismul critic, pozitivismul, propunându-şi să evite „marea greşeală pozitivistă de a exclude sistemele teoretice cu sens din ştiinţele naturii pur descriptive”, adică o abordare care conferă adevăr numai rezultatelor descriptive din ştiinţele naturii. Dacă Cercul de la Viena caută un criteriu de demarcare între ştiinţă şi metafizică, criteriul de demarcare la Popper e între ştiinţă şi pseudoştiinţă.
Hermeneutica lui Gadamer pune în discuţie pretenţia la universalitate a metodologiei ştiinţifice şi constată că din chiar interiorul ştiinţei moderne există o rezistenţă la această idee. Totodată, aduce în discuţie ceea ce el numeşte experienţă de adevăr, care depăşeşte domeniul supus controlului metodologiei ştiinţifice. De pildă, experienţa filosofiei, a artei, a istoriei înseşi sunt modalităţi de experienţă în care un adevăr recunoscut ca atare nu se lasă verificat prin mijloacele metodice ale ştiinţei. Ceea ce-i mai grav e faptul că se încearcă introducerea acestei metode ştiinţifice pozitiviste în interiorul ştiinţelor umaniste, şi chiar în interiorul teologiei. Teologii de azi recunosc, însă, necesitatea unei întâietăţi a experienţei Duhului în cunoaşterea teologică.

Florin Caragiu


(text publicat în ziarul "Lumina de Duminică", secţiunea "Lumina cunoştinţei", duminică 1 aprilie 2012.)

prezenţă

cea mai tristă zi e cea în care nu te văd
şi, nevăzându-te, mă încred în absenţa ta.
atunci mă scol de dimineaţă ca un arc
şi mă aplec peste linia imaginară
a unei curse de viteză, în care se dă ocol
pământului în câteva momente de graţie.

e de ajuns să-mi opresc la un lucru gândul
că pierd startul şi nu-mi rămâne
decât să cobor scările blocului, săpând,
cu lopăţica din gură, o galerie de aer.
iar când deschid uşa de la intrare,
văd la picioarele mele întreaga viaţă.

şi, tras de subsuori, sunt dus de acolo
spre nacela unui balon ce se umflă.
şi văd că Dumnezeu a lărgit această zi,
făcând să încapă în ea toate celelalte,
o dată cu multe din cele ce vor veni – nimic
nu lipseşte, căci o mireasmă trece prin toate.

florii

bucuria ta-i lege pentru vântul
ce descarcă, în noapte, pomi înfloriţi.

ziua mea e o respiraţie,
câteva glasuri familiare,
trupul lui Hristos, în care lăsăm să ardă
ceea ce avem mai scump,
până ce focul se face trup.

de durere, gâtul se lasă pe spate,
vocea se sparge în aşchii,
în timp ce răspunzi la un ultim apel.

mirosul de salcie rămâne în nări –
adormi cu nuielele înfrunzite alături,
înainte să le pui la icoană.

la răsărit

se înstrăinează tot felul de lucruri în jur
părăseşti şi tu imaginile
îndărătul cărora te-ai ascuns

nu vinzi şi nu cumperi
nu vorbeşti despre dragoste
o gheară trecută prin foc
smulge din tine păpuşa îndesată cu moarte

e o dimineaţă magnifică de război
în care nu vrei nimic
pentru că rugăciunea ta-i ascultată
dinainte de a se naşte

înserare

vai, cine nu se leapădă de poet
când rămâne tăcut şi-i tremură de somn buzele,
în care bate un gong de mătase?
uşile închise ale feţelor sunt blestemate să-l uite
afară, între tufele de regina nopţii.
însă oasele-i trosnind se aşază pe scândura tare
ca o navă cosmică, în care se deschide o trapă.
ce împreună-călător ar zice
că în lumea neîncepută de om lucrurile
nu apar părăsite? dar se fac pe loc frumoase,
pentru că visul sapă o gropiţă
în obrazul lor înroşit şi atunci raiul
n-ar trebui căutat prea departe.

primăvară

acest braţ înflorit
ieşit prin sârma ghimpată de pe gardul cimitirului
ştie ce am pe suflet
frământ cu palmele o grămăjoară de urzici
sub jetul rece de apă înţepătura lor
se topeşte ca glasul mamei într-un petic de cer
prins pe hăinuţa ei într-o noapte
când a adormit cu mine în braţe legănându-mă
aşa cum timpul leagănă sfinţii până adoarme

da, e un vis

tristeţea şi mânia ta scapără
într-un cufăr cu peşti desenaţi.
mă întreb dacă nu cumva e un vis
acest vis, în care-mi vorbeşti
pe limba părinţilor tăi.

fiecare cuvânt pe care nu-l înţeleg
sau îl uit eşti tu însăţi - o scară
ce se înclină, desprinsă de pereţii de aer
siguri. şi până jos fiecare clipă cu tine
se face o pulbere fină, în care chipul
se-ngroapă, încetinind timpul.

şi pământul se topeşte de nerăbdare,
transpiră şi plânge ca un copil
după jucării. e un vis acest vis.

e o apă acest pământ
în care feţele noastre se cufundă
cu ochii deschişi.

Eşti o ploaie scurtă de vară

Acest nor ce luminează camera
e un nor de ploaie.
În el se strâng copiii noştri când nu-i găsim
şi strigă de se clatină geamurile.
Norul de ploaie se face o umbră mică
sub ochiul tău drept. Copiii stau agăţaţi
de orizont ca un breloc cu chei.
Sunt cel mai urât om frumos
şi strâng într-un vas lacrimi.
Un cântec se leagănă deasupra vinului vechi.
Când mi-e lumea mai dragă,
sunt iar într-o bancă de şcoală.
În faţă am o foaie albă,
la care se holbează cu gâtul întins
colegul din spate. Cum apuc să scriu un poem,
profu vine aproape, scoţând din buzunare
un pix, şi-mi taie cu roşu tot ce am scris.
Afară plouă torenţial. Pe faţa mea
creşte o mână de femeie.

Lanţul Poeţilor la Librăria Bizantină: Ion Mureşan (seară de poezie moderată de Luigi Bambulea)