Matematica – un tip specific de cunoaştere

Interesându-se de filosofia matematicii, studiul nostru îşi propune să se refere la tipul cu totul specific de cunoaştere pe care îl reprezintă matematica (prin cel puţin o parte a ei), disciplină care nu poate fi înglobată în totalitatea ei gândirii ştiinţifice. Opoziţiile care se fac sunt de obicei între cunoaşterea mitică, comună, artistică, ştiinţifică şi filosofică. În prezent, nu numai că fizicienii folosesc modelul matematic în locul celui mecanic, dominant în secolul al XIX-lea, dar, mai mult decât atât, se poate vorbi despre o dominaţie a metodei matematice printr-o fascinaţie pe care o exercită asupra oricărei inteligenţe. Einstein rămâne cel mai bun exemplu de folosire a matematicii ca model, cu referire la folosirea aparatului matematic denumit calcul tensorial, în cadrul teoriei relativităţii generalizate. S-a afirmat că matematica este oglindirea gândirii; obiectul propriu-zis al gândirii matematice îl constituie produse ale gândirii, creaţii autonome ale spiritului. Constatarea că metodele matematice se dovedesc utile în studierea fenomenelor fizice şi de asemenea observaţia că există un progres în acest sens al teoriilor fac plauzibilă, pe cât de discutabilă, idea unei naturi cvasimatematice a realităţii. De notorietate sunt cazurile când formule matematice menite iniţial să uşureze calculul au condus, în procesul căutărilor, la concluzii verificate ulterior pe cale experimentală. Este de consemnat şi de comentat o opinie venită din partea unor filosofi logicieni, că deşi s-a încercat să se prezinte ştiinţa actuală ca având nevoie de o epistemologie nouă, totuşi epoca noastră este, încă, una carteziană. Ea nu respinge de fapt ideile clare şi distincte, cum ar părea că o face (a se vedea Louis de Broglie), ci lărgeşte cadrul, admiţând în corpul ştiinţei şi idei numai pentru „compatibilitatea lor” cu cele deja admise în construcţia unei ştiinţe determinate. Prin aceasta, însă, raţionalismul lucidităţii carteziene nu este afectat în esenţa lui, ci dimpotrivă amplificat (Anton Dimitriu). S-a spus că matematica prezintă o imagine ideală a unor fenomene ascunse. Este ca o hartă ideală pentru o ţară încă neidentificată cu precizie, sau care, poate, nici nu există în realitate. Omul rescrie lumea din el însuşi, prin procedee matematice. „La sfârşit, scria Jacques Maritain, gândirea umană va apărea ca un fel de demiurg, care fabrică lumea cognoscibilă cu conceptele sale, şi nu realitatea va cere ştiinţei să fie adevărată, ci ştiinţa va cere realităţii de a fi ştiinţifică”.
Principiul matematic tinde azi să devină şi un criteriu al calităţii de a fi actual şi eventual acceptat care i se pretinde unui sistem metafizic. „Metaphysical systems do contain sufficiently general primitive, intuitive concepts and principles so as to suggest and even generate, mathematical (and also scientific) concepts and principles; and conversely” (Joel Friedman). Gândul acesta ne duce la o frază a lui E. T. Bell: „Teologii medievali erau matematicieni frustraţi”. Acest prestigiu cvasi-universal al matematicii are o legătură cu constatarea că matematica este, mai mult decât o ştiinţă, este „partea exactă a gândirii noastre” (Brouwer). Brouwer a afirmat că la originea acestei gândiri se află sentimentul timpului, adică „desfacerea unui moment trăit în două părţi distincte, dintre care una lasă loc celeilalte, dar este reţinută de memorie”. Acest motor al binarităţii este, s-a spus, impulsul psihologic fundamental al activităţii matematice. În acest context, comentatorii au ajuns să şi explice o anumită repulsie faţă de matematici, ce-ar fi de fapt repulsie faţă de desfacerea momentului trăit şi o reacţie a umanităţii omului faţă de un mecanism proliferativ al ordinii, o ordine însă neconstruită axiologic. Deşi astăzi depăşită, concepţia logicistă asupra matematicii considera nu cu totul neîntemeiat matematica drept o extensie a logicii. Examenul logic constă în cuprinderea posibilului formal, acela care este pus în evidenţă prin separarea mentală a structurilor de înţelesurile purtate. S-a spus că în matematică lucrul cel mai important nu îl constituie definiţiile sau demonstraţiile, ci apariţia problemelor, şi că problemele apar atât din bucuria jocului gândirii, cât şi din meditaţiile asupra limitelor gândirii noastre. Matematica s-a înnoit când a introdus în raţionalul ei iraţionalul, cum se vede în aporiile continuumului şi ale infinitului (Constantin Noica). Dar caracteristic pentru entităţile matematice nu este atât abstracţia cât exactitatea. De aici, rezultă senzaţia pregnantă a matematicii ca joc superior al minţii. Într-o anumită privinţă, lumea obiectelor matematice este mai bogată decât lumea reală. Pentru mulţi, matematica apare ca o ştiinţă a sistemelor formale. Rucker (Infinity and the Mind) vede sensul ultim al matematicilor în intenţia lor de a integra infinitul. „Este posibil să se considere istoria fundamentelor matematicii ca o extindere progresivă a universului matematic pentru a include din ce în ce mai multe infinităţi”. Cantor introduce noţiunea de transfinit sau suprafinit, care poate fi determinat, ca şi finitul, prin anumite numere. El vede această imagine matematică în corespondenţă cu structura intelectului uman care „are o predispoziţie nemărginită pentru formarea etajată de clase întregi de numere, care se află faţă de modurile infinite într-o anumită relaţie şi ale căror puteri sunt de o tărie crescătoare”. Cunoscutul filosof român Constantin Noica a făcut observaţia că, deşi gândesc paradoxal, matematicile fac astfel spre a simplifica şi opera, nu spre a pune în lumină complexul. Ele spun: mulţime de un element. Au adus perspectiva pluralului („altceva decât diversul”), care e omogen şi le îngăduie suprimarea calitativului”.
Ideea de valoare tulbură ordinea matematică a lucrurilor. Formularea matematică, în această concepţie, guvernează cu principiul metodologic al cantitativizării, mai ales în situaţia în care se tinde spre extrapolarea limbajului matematic asupra marilor domenii spirituale. S-a spus că gândirea matematică este, din punct de vedere psihologic, un tip de gândire exactă în care îndoiala şi tragicul nu-şi află loc, în măsura în care aici se pun în mişcare principii şi limbaje convenţionale, nu adâncimi ale fiinţei.
Şi totuşi matematica este chemată să pună întrebări filosofiei. Aceasta din urmă este chemată să judece asupra statutului entităţilor matematice sau asupra diverselor probleme interne ale matematicii care incită gândirea în ansamblul ei, cum ar fi: relaţia dintre finit şi infinit, dintre local şi global, etc. Economicitatea, ingeniozitatea, insolitul unor demonstraţii matematice, s-a spus, pot fi considerate prin analogie cu o operă de artă, mai ales când sunt produsul colaborării spiritului matematic cu spiritul logic. Matematica dă naştere unor lumi închise, cu regului imanente, prestabilite, suficiente în sine. S-a afirmat că interacţiunea dintre invenţie şi descoperire explică de ce matematica n-are nevoie de stimuli din exterior, pentru că ea inventează entităţi, apoi le descoperă proprietăţile, relaţiile lor cu alte entităţi preexistente, iar aceste descoperiri îi sugerează inventarea unor entităţi noi ş.a.m.d. Sunt generate lumi posibile.
Aşa cum le-a caracterizat Lucács György, obiectele matematice sunt, în analogie cu cele poetice, entităţi fiinţând în sine şi în acelaşi timp „existând numai pentru om”. Însă, cum s-a remarcat „existenţa pentru om” a conceptelor matematice nu e atât de evidentă precum aceea a obiectelor estetice. Totuşi, persistă şi în prezent o credinţă în aprioritatea, în perenitatea conceptelor matematice, în fiinţarea lor independent de subiectivitatea umană.
Definiţia doctrinei matematice dată de vestitul Program de la Erlangen l-a inspirat pe matematicianul şi poetul Dan Barbilian să schiţeze „un interval al principiilor spirituale constructive, unde poezia se uneşte cu matematica”. Concepută de matematicianul Felix Klein, geometria ca teorie a invarianţilor unui anumit grup de transformări este o fundamentare grupală care pune în lumină o proprietate latentă a doctrinelor matematice: închiderea lor. Faptul nu înseamnă limitarea numerică a teoremelor, ci doar că nici o teoremă nu poate ieşi niciodată dintr-un cadru dat, previzibil. Metoda erlangiană permite, după matematicianul roman, stabilirea unor analogii între domenii ale spiritului vorbind limbaje total diferite, prin apartenenţa lor la aceeaşi structură abstractă a invariantului de profunzime. Astfel, specializării strâmte ori tehnicităţii opace i se substituie un pluralism luminat. Au existat diverse luări de poziţie despre influenţa teologiei creştine, a Ortodoxiei în poezia lui Dan Barbilian (Ion Barbu). Marin Mincu, de pildă, în teza sa de doctorat, a arătat că parte din poemele ciclului „Joc secund” au un lirism ascuns „deductibil prin descrifrarea gnomicului biblic conţinut”, cu invocarea elementelor de ritual creştin. Poezia antimimetică a lui Barbu are ca denotat semnificaţia simbolică, o axiomă fundamentală exprimată printr-o formă eliptică, asemănătoare „frumuseţii canonice a enunţului matematic”, după cum declară autorul ei. Această „celebritate sumară”, această „artă mai general concepută” este, cum arăta criticul Mincu, aparent paradoxal „deschisă prin univocitate”. „Emoţia e mai profundă şi mai agravată parcă de densitatea pe care i-o conferă o formă avară” (Ion Barbu). În amplul studiu al lui Mandics György, dedicat poeziei lui Barbu, se recunoaşte că elementele universului creştin, „momentele lui binecunoscute le-a folosit, în schimb, din plin la forjarea unor sensuri surprinzătoare, la scurtări de drumuri cu speranţa univocităţii codului biblic, element necesar pentru a elimina schelăria construcţiei ideatice, pentru a scădea redundanţa exprimării”. Tendinţa către o unitate ce închide în sine o maximă deschidere semnificativă Barbu a descris-o ca pe o ridicare în înaltul unui „univers de curăţii şi semne”. Paradoxului „finitului mai mare decât infinitul”, al deschiderii în închidere, descrie starea de a fi sub ochiul lui Dumnezeu. Aici totul converge diferenţiindu-se şi grupându-se liber în unităţi, în „grupuri”. În această calitate a sa, grupul devine ca o axă a consistenţei şi categoricităţii unui sistem de meditaţie poetică. Această viziune i-a fost evocată lui Barbu de modalitatea în care matematicianul Hilbert şi-a edificat sistemul de axiome consistent (liber de contradicţii) şi de asemenea caracterizat prin categoricitate (sau completitudine). Aceste trăsături sunt proprii prin excelenţă unui univers de completitudine metafizică. Sunt comentatori (d. ex. Mandics György) ce au remarcat că sentimentul de bucurie cognitivă dobândeşte în confesiunile lui Ion Barbu o tonalitate cunoscută din operele lui Dionisie Areopagitul, o coloratură înrudită cu trăirea mistică. Nu vorbeşte despre cunoaştere pur şi simplu, ci despre cunoaştere mântuitoare: „să alegi între graţie şi Graţie, între încântare şi Mântuire, iată canonul întrebării”.
Noul spirit în care e condusă speculaţia axiomatică fixează cercetătorului un punct înalt de comandă, din care diferenţele accidentale între lucrurile matematice se şterg, pentru a nu rămâne decât unele aspecte foarte generale, aspectele funcţionale. „Disciplinele matematice, în coordonarea lor axiomatică, îmbracă frumuseţe platoniciană. Graniţele lor sunt mutate mai departe, în anume cercuri ale ideilor, şi cea mai de seamă ispravă axiomatică revine tocmai la a trage punţi între aceste regiuni înalte, aparent incomunicabile (Dan Barbilian). Viziunea poetică a lui Dan Barbilian decurge din conceperea matematicii drept axiomatică în spiritul Programului de la Erlangen. Însuşi fondul Programului de la Erlangen constă tocmai în a face ordine în tabloul lumii format din imagini izolate, în a include în familii izomorfe concepţiile identice în esenţă. „Este locul oricărei frumuseţi inteligibile: înţelegerea pură, onoarea geometriilor”. Aşezată sub metafora unui ideal transcendent, geometria încifrează un mesaj fundamental, menit să formuleze în sens hilbertian „obiectul” sau, cu cuvintele lui Dan Barbilian, „existenţele substanţial indefinite”. Indefinite ca şi punctul, dreapta, planul sunt şi omul, existenţa, cunoaşterea... Conţinutul acestor „cupole” poate fi doar parafrazat, dar nu şi epuizat, deoarece ele sunt „punctele critice ale unei naturi” sau sunt „existenţele ideale” (Dan Barbilian). „Teoremele de închidere ne invită să reflectăm îndelung asupra caracterului fascinator, religios aproape, al anumitor adevăruri matematice” (Dan Barbilian). Poezia trebuie să păstreze invariaţie faţă de anumite grupuri de transformări verbale. Invariantul, permanenţa, e „subtila disociere intelectuală”. În cursul universitar de axiomatică ţinut de Dan Barbilian, acesta distinge între axiomatica ca ştiinţă şi axiomatica ca metodă. Metoda axiomatică este un stil opus stilului algoritmic. În prima, instrumentul de cercetare sau de exprimare este dialectica, adică jocul logic al noţiunilor, a doua are ca metodă de lucru calculul. Despre axiomatică se arată că ea este apropiată de critica literară, prin preocuparea de a constitui sinteze valabile între unităţi compozite puse la îndemână de o activitate anterioară. Astfel, axiomatica gândeşte prin doctrine, nu prin teoreme, este ca o matematică la puterea a doua. Transpus în poezie, acestui sistem cvasiaxiomatic îi este specific faptul că obiectele şi conexiunile din cuprinsul lui nu sunt formalizate, ci conceptuale, în descrierea lor putând fi folosit limbajul natural. Geometria poate fi gândită ca poezie atunci când se autocontemplă şi când devine meditaţie asupra gândirii înseşi. În acest moment, este depăşit principiul logicii discursive, care este în esenţă: un obiect nu poate fi numit decât cu un singur nume. Filosoful român Camil Petrescu a vorbit de apogeticul logic acolo unde avem realizarea maximă a acestui principiu, şi anume în aritmetică. Numărul „trei” nu are în nici o limbă două nume. Matematica modernă a ajuns chiar la unicitatea numelui internaţional, la simbolul cifră. Acesta revine la o teoremă fundamentală: apogeticul logic corespunde cu apogeticul determinării, univocitatea numirii ca maximă determinare. Dar, atenţionează filosoful citat, determinarea maximă pe o dimensiune nu e la fel pe toate dimensiunile. Ce câştigă anume pe o dimensiune pierde pe alta.
Fizicianul englez G. Thomson, referindu-se la consecinţele indeterminării în fizică, afirma despre această limitare fundamentală a cunoştinţelor noastre că este o noutate. Noutatea nu constă în faptul că experienţele sunt imprecise (de când lumea au fost aşa), ci din faptul că pentru prima oară se vorbeşte despre ceva ce nu poate fi cunoscut, că există o limită a cunoaşterii experimentale în sine. Referindu-se la veacul din care tocmai am ieşit, filosoful Constantin Noica nota, citându-l pe Wittgenstein: „Veacul nu are decât câteva mari rezultate negative: matematica nu poate fi redusă la logică (Gödel), deci nu e perfect raţională; fiinţa nu poate fi rostită (Heidegger), deci filosofia discursivă trebuie să tacă asupra ei; societatea şi istoria nu pot fi controlate (eşecul socialismului!)”.


de Florin Caragiu